Wielomiany wracają na maturze rozszerzonej co roku, i to w dwóch rolach: jako osobne zadanie o dzieleniu, reszcie albo rozkładzie na czynniki oraz jako ostatni krok w zadaniach z zupełnie innych działów, który kończy się nierównością wielomianową lub wymierną. W tym odcinku przechodzę przez cały dział od definicji po zadania CKE: najpierw skąd biorą się narzędzia, potem jak liczyć szybko i bez pomyłek, a na końcu pełne rozwiązania zadań maturalnych.
Odcinek 2 3 h 58 min 7 zadań CKE bezpłatnie
Rozdziały filmu54 rozdziały
I · Wielomiany — wprowadzenie i ciekawostki
- 00:00Wielomiany na maturze rozszerzonej — wprowadzenie
- 01:02Wykresy wielomianów stopnia 3, 4, 5 i wyższych
- 02:54dla nerdówWielomian Taylora — przybliżanie funkcji sinus
- 04:51pułapkaIle punktów wspólnych ma styczna z wykresem?
- 05:43Przybliżenie liniowe i wielomiany dwóch zmiennych
- 11:12pułapkaNiepozorny x⁴ + 4x + 5, który rozkłada się potwornie
- 13:18Wzory na równania 3 i 4 stopnia — czemu ich nie używamy
- 16:32dla nerdówTwierdzenie Abela–Ruffiniego — od stopnia 5 nie ma wzorów
- 19:23dla nerdówWłasność Darboux — stopień nieparzysty ma pierwiastek
- 21:06dla nerdówSinus 1 radiana policzony ręcznie z Taylora
II · Definicja, współczynniki i stopień
- 28:06Definicja wielomianu — współczynnik wiodący i wyraz wolny
- 32:21sztuczkaSuma współczynników to W(1) — trik na (1 − 2x)²⁰²⁷
- 34:56dla nerdówWspółczynniki przy parzystych potęgach — W(1) i W(−1)
- 39:11Stopień wielomianu — deg, stopień iloczynu i sumy
- 45:25sztuczkaMnożenie wielomianów potęga po potędze
III · Dzielenie wielomianów z resztą
- 54:08Dzielenie z resztą — analogia do liczb całkowitych
- 58:31Podzielność wielomianów — tak jak liczby pierwsze
- 1:05:11dla nerdówP kontra NP — na czym stoi szyfrowanie
- 1:08:17sztuczkaWyłączanie przed nawias — nie mnóż na ślepo
- 1:14:45Dzielenie wielomianów — warunek na stopnie
- 1:15:29Funkcja homograficzna jako dzielenie z resztą
- 1:20:05Tożsamość W(x) = P(x)·Q(x) + R(x)
- 1:22:51sztuczkaDzielenie wielomianów metodą algebraiczną
IV · Algorytm dzielenia i schemat Hornera
- 1:26:56Dzielenie pisemne wielomianów pod kreską
- 1:34:05pułapkaSchemat Hornera krok po kroku — pułapka zgubionego współczynnika
- 1:37:52Schemat Hornera a twierdzenie Bézouta
- 1:38:32historiaKim był William Horner — zoetrop i pomiar gór
V · Twierdzenie Bézouta i zadania maturalne
- 1:41:31Twierdzenie Bézouta — wyprowadzenie z dzielenia
- 1:45:22Twierdzenie o reszcie — reszta z (x − a) to W(a)
- 1:48:17rozwiązanieMatura maj 2016, zad. 2 — rozwiązanie: podzielność
- 1:50:45rozwiązanieMatura czerwiec 2020, zad. 1 — rozwiązanie: reszty
- 1:53:27rozwiązanieMatura maj 2017, zad. 5 — rozwiązanie: kodowane
- 1:55:23rozwiązanieMatura czerwiec 2021, zad. 5 — rozwiązanie: iloraz
- 2:00:25rozwiązanieMatura maj 2015, zad. 15 — rozwiązanie: trudny (19%)
- 2:08:45Reszta z dzielenia przez x² − 4 — z W(2) i W(−2)
- 2:14:32rozwiązanieZadanie premium: reszta ze 100x¹⁰⁰ + … + x
VI · Rozkład wielomianu na czynniki
- 2:22:46Równania wielomianowe — zgadywanie pierwiastka
- 2:24:36sztuczkaRozkład na czynniki metodą algebraiczną
- 2:29:56dla nerdówRozkład x⁴ + 1 współczynnikami nieoznaczonymi
- 2:36:00sztuczkaRozkład x⁴ + 1 — wzory skróconego mnożenia
VII · Nierówności wielomianowe
- 2:39:20Nierówności wielomianowe krok po kroku
- 2:49:38pułapkaPułapka krotności w dwóch nawiasach
- 2:53:09rozwiązanieMatura maj 2019, zad. 13 — rozwiązanie: parametr (44%)
- 3:06:42sztuczkaWzory Viète’a zamiast delty
VIII · Twierdzenie o pierwiastkach wymiernych i pochodna
- 3:10:58Twierdzenie o pierwiastkach wymiernych (p/q)
- 3:16:44Z ułamkowych współczynników na całkowite
- 3:18:56rozwiązanieDowód: (x − 1)¹⁰ + (x + 1)¹¹ bez pierwiastków całkowitych
- 3:21:54Dowodzenie nierówności za pomocą pochodnej
IX · Funkcje wymierne i nierówności wymierne
- 3:31:10Funkcje wymierne — dziedzina i pułapki mnożenia
- 3:32:52rozwiązanieNierówność wymierna 2/x − 1/x³ ≤ 1 — rozwiązanie
- 3:41:08rozwiązanieMatura czerwiec 2022, zad. 8 — rozwiązanie: nierówność
- 3:47:49Podsumowanie wymagań z funkcji wymiernych
X · Dodatek: pierwiastki wielokrotne i kryterium Eisensteina
Co znajdziesz w odcinku
-
Wielomiany — po co je znać
Wykresy stopnia trzeciego, czwartego i piątego, przybliżanie funkcji wielomianem Taylora, wzory na równania trzeciego i czwartego stopnia oraz twierdzenie Abela–Ruffiniego, czyli dlaczego od stopnia piątego takich wzorów już nie ma.
-
Definicja, stopień i współczynniki
Współczynnik wiodący i wyraz wolny, stopień iloczynu i sumy, a do tego dwa triki rachunkowe: suma współczynników jako W(1) i mnożenie wielomianów potęga po potędze.
-
Dzielenie z resztą i schemat Hornera
Analogia do liczb całkowitych, warunek na stopnie, tożsamość W(x) = P(x)·Q(x) + R(x), dzielenie pisemne pod kreską i schemat Hornera krok po kroku — razem z pułapką zgubionego współczynnika.
-
Twierdzenie Bézouta i zadania maturalne
Wyprowadzenie z dzielenia, twierdzenie o reszcie, reszta z dzielenia przez wielomian stopnia drugiego oraz pięć zadań CKE i zadanie premium rozwiązane od początku do końca.
-
Rozkład na czynniki i nierówności
Zgadywanie pierwiastka, rozkład metodą algebraiczną i współczynnikami nieoznaczonymi, a potem nierówności wielomianowe ze szkicem wykresu i pułapką krotności.
-
Pierwiastki wymierne, funkcje wymierne i dodatek
Twierdzenie o pierwiastkach wymiernych, dowodzenie nierówności pochodną, dziedzina i pułapki mnożenia w nierównościach wymiernych, a na koniec pierwiastki wielokrotne i kryterium Eisensteina.
Najczęstsza pułapka: krotność pierwiastka przy szkicowaniu nierówności wielomianowej. Jeśli ten sam pierwiastek siedzi w dwóch nawiasach, wykres go nie przecina, tylko odbija się od osi — a wtedy przeplatanka znaków przestaje działać i cały zbiór rozwiązań wychodzi źle.
Omawiane zadania z matur CKE
- Maj 2016 · zadanie 2 1 pkt
- Czerwiec 2020 · zadanie 1 1 pkt
- Maj 2017 · zadanie 5 2 pkt
- Czerwiec 2021 · zadanie 5 2 pkt
- Maj 2015 · zadanie 15 6 pkt poziom wykonania 19%
- Maj 2019 · zadanie 13 6 pkt poziom wykonania 44%
- Czerwiec 2022 · zadanie 8 3 pkt
Poprzednia: Funkcja kwadratowa Następna: Moduł Wszystkie lekcje kursu