Wartość bezwzględna pojawia się na maturze rozszerzonej na dwa sposoby: jako osobne równanie lub nierówność z modułem oraz jako pułapka ukryta w innych zadaniach, choćby pod postacią √(x2) = |x|. W tym odcinku przechodzę przez cały temat: od interpretacji geometrycznej i definicji, przez równania i nierówności z kilkoma modułami, po pięć zadań CKE rozwiązanych krok po kroku i wykresy funkcji z modułem.
Odcinek 3 1 h 36 min 6 zadań CKE bezpłatnie
Rozdziały filmu27 rozdziałów
I · Wartość bezwzględna — interpretacja i własności
- 00:00Wartość bezwzględna — interpretacja geometryczna
- 01:58Nierówność |x − 3| ≤ 1 — odległość x od 3 na osi
- 02:56pułapkaNierówność |x + 5| większa od 2 — odległość od −5, nie od 5
- 04:14sztuczkaNierówność (2x − 1)² ≤ 4 bez delty — pierwiastkujemy
- 08:28pułapkaPierwiastek z kwadratu to wartość bezwzględna: √(m²) = |m|
- 09:10Definicja wartości bezwzględnej
- 10:56pułapka„Wartość bezwzględna zjada minus” — dlaczego to nieprawda
- 12:07|−x| = |x| i |a − b| = |b − a| — podstawowe własności modułu
- 13:33Opuszczanie wartości bezwzględnej z definicji
- 17:03Wartość bezwzględna iloczynu i ilorazu: |ab| = |a|·|b|
II · Równania z wartością bezwzględną
- 18:23Podstawowe równania z wartością bezwzględną |x| = a
- 19:43Wartość bezwzględna z wartości bezwzględnej: ||x − 1| − 2| = 4
- 21:14Równanie |2x − 1| = |3x + 5|, równość liczb na moduł
- 22:42rozwiązanieMatura maj 2022, zad. 7 — rozwiązanie: |x − 3| = 2x + 11 (44%)
- 27:12rozwiązanieMatura czerwiec 2020, zad. 6 — rozwiązanie trzema sposobami (28%)
- 37:36sztuczkaLiczba rozwiązań równania z parametrem — metoda geometryczna
III · Nierówności z wartością bezwzględną
- 45:39rozwiązanieMatura maj 2025, zad. 5 — rozwiązanie: trzy przedziały (52%)
- 57:25rozwiązanieMatura maj 2026, zad. 5 — rozwiązanie: |x − 3| przed nawias
- 1:06:30przeglądMatura maj 2023, zad. 9 — √(a²) = |a| i nierówność z modułami (52%)
- 1:07:54rozwiązanieMatura czerwiec 2015, zad. 6 — rozwiązanie: |x| mniejsze od |x − 1025|
IV · Dodatek: wykresy funkcji z modułem
- 1:11:29dla nerdówWykres |f(x)| — odbicie części pod osią x, np. |sin x|
- 1:13:14dla nerdówWykres ||x + 1| − 3| krok po kroku — funkcja typu W
- 1:15:26dla nerdówWykres f(|x|) — odbicie względem osi y, funkcja parzysta
V · Dodatek: inne typy zadań z modułem
Co znajdziesz w odcinku
-
Interpretacja i własności
Wartość bezwzględna jako odległość na osi, definicja, pierwiastek z kwadratu √(x2) = |x|, podstawowe własności modułu i opuszczanie go z definicji — razem z mitem, że moduł „zjada minus”.
-
Równania z wartością bezwzględną
Równania |x| = a, moduł z modułu, równość dwóch modułów, dwa zadania CKE — w tym czerwiec 2020 rozwiązany trzema sposobami — i geometryczna metoda na liczbę rozwiązań równania z parametrem.
-
Nierówności z wartością bezwzględną
Nierówności z kilkoma modułami rozwiązywane na przedziałach, wspólny czynnik wyciągnięty przed nawias i porównywanie dwóch modułów — na zadaniach z matur 2015, 2023, 2025 i 2026.
-
Wykresy funkcji z modułem
Wykres |f(x)| jako odbicie części pod osią, wykres ||x + 1| − 3| krok po kroku i wykres f(|x|) jako odbicie względem osi y — dodatek dla chętnych.
-
Inne typy zadań z modułem
Liczba rozwiązań w zależności od parametru, dowód nierówności przez podstawienie t = |x| i dowód, że suma dwóch pierwiastków jest liczbą całkowitą.
Najczęstsza pułapka: przekonanie, że wartość bezwzględna „zjada minus”. Owszem, |−x| = |x|, ale |x − 3| to nie x + 3 — to odległość liczby x od 3 na osi. Wyrażenie pod modułem ma różny znak dla różnych x, dlatego moduł opuszcza się przedziałami i w każdym z nich sprawdza znak osobno.
Omawiane zadania z matur CKE
- Maj 2022 · zadanie 7 3 pkt poziom wykonania 44%
- Czerwiec 2020 · zadanie 6 3 pkt poziom wykonania 28%
- Maj 2025 · zadanie 5 4 pkt
- Maj 2026 · zadanie 5 4 pkt
- Maj 2023 · zadanie 9 4 pkt
- Czerwiec 2015 · zadanie 6 2 pkt
Poprzednia: Wielomiany Następna: Logarytmy Wszystkie lekcje kursu