Logarytmy i funkcja wykładnicza pojawiają się na maturze rozszerzonej najczęściej na dwa sposoby: jako zadanie z kontekstem — wzrost populacji bakterii czy lokata — oraz jako dowód, w którym trzeba zmienić podstawę logarytmu. W tym odcinku przechodzę przez cały temat: od wzrostu wykładniczego i skali logarytmicznej, przez definicję i własności logarytmów, po cztery zadania CKE rozwiązane krok po kroku.
Odcinek 4 1 h 28 min 4 zadania CKE bezpłatnie
Rozdziały filmu31 rozdziałów
I · Wzrost wykładniczy i skala logarytmiczna
- 00:00Wzrost liniowy, logarytmiczny i wykładniczy — porównanie
- 02:37Wzrost wykładniczy na przykładzie bakterii
- 04:04Skala liniowa i skala logarytmiczna — wykres PKB
- 05:48Skala logarytmiczna — ziarna ryżu na szachownicy i ciąg geometryczny
- 07:40Skala Richtera — logarytm dziesiętny, amplituda i energia
- 10:29Skala Richtera powyżej 10 i poniżej 0 — od muchy do rozpadu Ziemi
II · Potęgi i definicja logarytmu
- 14:35Działania na potęgach — przypomnienie przed logarytmami
- 15:39dla nerdówDlaczego 2⁰ = 1? Potęga do zerowej i granica 2ˣ przy x → 0
- 17:58Definicja logarytmu — logₐ b = c, gdy aᶜ = b, przykład log₂ 8
- 20:23sztuczkaJak obliczyć logarytm o podstawie √2 z 1/8 — trzy sposoby
- 25:25Funkcja wykładnicza i logarytmiczna są odwrotne — logₐ aˣ = x
- 28:01Wzór a^(logₐ x) = x — dlaczego 2^(log₂ 5) = 5
- 31:02Założenia logarytmu — dlaczego podstawa jest różna od 1
- 32:01Dlaczego logarytm rośnie coraz wolniej? Poziomy języka A1–C2
III · Funkcja wykładnicza w praktyce
- 35:20historiaLegenda o szachownicy — ziarna ryżu i 2⁶³
- 38:26sztuczkaSzacowanie 2⁶³ bez kalkulatora — 2¹⁰ = 1024 ≈ 1000
- 41:15Lokata 10% rocznie — mnożenie przez 1,1 co roku
IV · Własności logarytmów i zmiana podstawy
- 42:07Własności logarytmów — suma, różnica i logarytm potęgi
- 45:55dla nerdówDowód wzoru logₐ x + logₐ y = logₐ(xy)
- 49:42sztuczkaDziałania na potęgach: 4¹⁰ + 4¹⁰ + 4¹⁰ + 4¹⁰ i 2²⁰ − 2¹⁹
- 51:38Wzór na zmianę podstawy logarytmu i logarytm dziesiętny
- 54:08sztuczkaPostać iloczynowa wzoru i liczba odwrotna: log₅ 7 = 1/log₇ 5
- 56:36sztuczkaDlaczego nie warto uczyć się z tablic na maturze
- 59:30Logarytmy na maturze rozszerzonej — co trzeba umieć
V · Zadania maturalne z logarytmów i funkcji wykładniczej
- 1:00:34rozwiązanieMatura maj 2025, zad. 1 — rozwiązanie: o ile procent rośnie populacja bakterii
- 1:05:46rozwiązanieMatura maj 2024, zad. 5 — rozwiązanie: dowód z dwoma parametrami, log₁₂ 80
- 1:11:52rozwiązanieMatura czerwiec 2021, zad. 6 — rozwiązanie: zamiana na logarytmy dziesiętne
- 1:16:24rozwiązanieMatura lipiec 2020, zad. 10 — rozwiązanie: wszystkie wartości logₐ b
- 1:23:37sztuczkaDzielenie obu stron przez x² i podstawienie t = y/x
- 1:25:48sztuczkaZgadywanie pierwiastka i wzory Viète’a zamiast delty
- 1:28:01materiałyStandardowe zadania z logarytmów — podsumowanie i materiały
Co znajdziesz w odcinku
-
Wzrost wykładniczy i skala logarytmiczna
Wzrost liniowy, logarytmiczny i wykładniczy na jednym wykresie, bakterie i ziarna ryżu na szachownicy, skala logarytmiczna na wykresie PKB oraz skala Richtera — od muchy po rozpad Ziemi.
-
Potęgi i definicja logarytmu
Działania na potęgach, dlaczego 20 = 1, definicja logarytmu, trzy sposoby obliczenia log√2 (1/8), logarytm i potęga, które się nawzajem znoszą, oraz założenia — skąd podstawa dodatnia i różna od 1.
-
Funkcja wykładnicza w praktyce
Legenda o szachownicy, szacowanie 263 bez kalkulatora dzięki temu, że 210 = 1024 ≈ 1000, i lokata, na której kapitał co roku mnoży się przez 1,1.
-
Własności logarytmów i zmiana podstawy
Logarytm iloczynu, ilorazu i potęgi — z dowodem dla chętnych — sprytne działania na potęgach, wzór na zmianę podstawy, log5 7 = 1/log7 5 i krótka lista tego, co z logarytmów trzeba umieć na maturze.
-
Zadania z matur CKE
Cztery zadania krok po kroku: o ile procent rośnie populacja bakterii, dwa dowody, w których trzeba zmienić podstawę logarytmu, i wszystkie wartości loga b — z podstawieniem t = y/x i wzorami Viète’a zamiast delty.
Najczęstsza pułapka: gubienie założeń przy równaniach rozwiązywanych z definicji logarytmu. Z równania logx 16 = 4 wychodzi x4 = 16, czyli x = 2 albo x = −2 — ale podstawa logarytmu musi być dodatnia i różna od 1, a liczba logarytmowana dodatnia, więc zostaje tylko x = 2.
Omawiane zadania z matur CKE
- Maj 2025 · zadanie 1 2 pkt
- Maj 2024 · zadanie 5 3 pkt
- Czerwiec 2021 · zadanie 6 3 pkt
- Lipiec 2020 · zadanie 10 4 pkt
Poprzednia: Moduł Następna: Dowody algebraiczne Wszystkie lekcje kursu