Dowód algebraiczny na maturze rozszerzonej to najczęściej nierówność do wykazania, rzadziej równość. W tym odcinku przechodzę przez wszystkie sposoby, które sprawdzają się na maturze: od podpowiedzi ukrytej w tezie i w założeniu, przez sumę kwadratów, rozkład wielomianu, pochodną i nierówność między średnimi, po metodę geometryczną — na ośmiu zadaniach CKE rozwiązanych krok po kroku.
Odcinek 5 1 h 35 min 8 zadań CKE bezpłatnie
Rozdziały filmu27 rozdziałów
I · Pięć sposobów i podpowiedzi w treści zadania
- 00:00Dowody algebraiczne na maturze rozszerzonej — pięć sposobów
- 02:40rozwiązanieMatura czerwiec 2020, zadanie 8 — rozwiązanie: teza a = 2b jako podpowiedź
- 03:39sztuczkaRozumowanie wsteczne — co wyłączyć przed nawias
- 08:10rozwiązanieMatura maj 2022, zadanie 6 — rozwiązanie: podpowiedź w założeniu i różnica sześcianów
- 11:29sztuczkaWzory na różnicę i sumę sześcianów — jak je zapamiętać
II · Suma kwadratów i zadanie z parametrem
- 17:26rozwiązanieMatura czerwiec 2017, zadanie 7 — rozwiązanie: suma kwadratów
- 20:46sztuczkaDelta równa zero — trójmian jest kwadratem
- 22:07Dowód nierówności jako zadanie z parametrem — warunek Δ ≤ 0
III · Rozkład wielomianu, pochodna i nierówność między średnimi
- 29:55rozwiązanieMatura czerwiec 2023, zadanie 5 — rozwiązanie: a² + 16/a ≥ 12 przez rozkład wielomianu
- 30:32pułapkaMnożenie nierówności przez niewiadomą — kiedy wolno?
- 34:24sztuczkaRozkład wielomianu bez dzielenia — sprytne rozbicie wyrazu
- 36:59sztuczkaWzory Viète’a zamiast delty — drugi pierwiastek z iloczynu
- 38:34Dowód nierówności pochodną — gdzie funkcja rośnie i maleje
- 43:43Nierówność między średnią arytmetyczną a geometryczną w dowodach
- 48:00sztuczkaJak dobrać liczby do nierówności między średnimi?
IV · Założenia i metoda geometryczna
- 49:20rozwiązanieMatura maj 2016, zadanie 8 — rozwiązanie: najtrudniejsze zadanie z dowodów algebraicznych
- 53:50pułapkaKiedy wolno podnieść nierówność do kwadratu?
- 55:37Dowód geometryczny — okrąg x² + y² = 2 i styczna x + y = 2
- 1:00:31Wzór na odległość punktu od prostej — warunek styczności
V · Zadania maturalne z dowodzenia nierówności
- 1:03:19rozwiązanieMatura maj 2015, zadanie 8 — rozwiązanie: x⁴ − x² − 2x + 3 jako suma kwadratów
- 1:08:11Dowód nierówności pochodną — wielomian czwartego stopnia
- 1:11:18Dzielenie pisemne wielomianu przez x − 1 — przypomnienie
- 1:17:13rozwiązanieMatura czerwiec 2024, zadanie 5 — rozwiązanie: jedna niewiadoma zamiast dwóch
- 1:23:59rozwiązanieMatura czerwiec 2016, zadanie 8 — rozwiązanie: nierówność z pierwiastkami
VI · Podsumowanie
Co znajdziesz w odcinku
-
Pięć sposobów i podpowiedzi w treści
Przegląd pięciu sposobów na dowód, rozumowanie wsteczne — co wyłączyć przed nawias — podpowiedź ukryta w tezie i w założeniu oraz wzory na sumę i różnicę sześcianów, które łatwo zapamiętać.
-
Suma kwadratów i zadanie z parametrem
Dowód przez sumę kwadratów, trójmian o wyróżniku zero jako kwadrat i nierówność potraktowana jak zadanie z parametrem — z warunkiem Δ ≤ 0.
-
Rozkład wielomianu, pochodna i średnie
Nierówność a2 + 16/a ≥ 12 przez rozkład wielomianu, kiedy wolno mnożyć nierówność przez niewiadomą, rozkład bez dzielenia, wzory Viète’a zamiast delty, dowód pochodną i nierówność między średnią arytmetyczną a geometryczną.
-
Założenia i metoda geometryczna
Najtrudniejsze zadanie z dowodów algebraicznych z matury 2016, podnoszenie nierówności do kwadratu i dowód geometryczny: okrąg x2 + y2 = 2, styczna i odległość punktu od prostej.
-
Zadania z matur CKE
Wielomian czwartego stopnia jako suma kwadratów i przez pochodną, warunek z sumą, przy którym zostaje jedna niewiadoma zamiast dwóch, i nierówność z pierwiastkami — a na koniec podsumowanie wszystkich metod.
Najczęstsza pułapka: mnożenie nierówności przez wyrażenie, którego znaku nie znamy. W nierówności a2 + 16/a ≥ 12 z czerwca 2023 wolno pomnożyć obie strony przez a tylko dlatego, że zadanie zakłada a > 0 — dla a = −1 lewa strona jest równa 1 − 16 = −15 i nierówność jest fałszywa.
Omawiane zadania z matur CKE
- Czerwiec 2020 · zadanie 8 3 pkt poziom wykonania 25%
- Maj 2022 · zadanie 6 3 pkt poziom wykonania 25%
- Czerwiec 2017 · zadanie 7 3 pkt
- Czerwiec 2023 · zadanie 5 3 pkt
- Maj 2016 · zadanie 8 3 pkt poziom wykonania 20%
- Maj 2015 · zadanie 8 3 pkt poziom wykonania 22%
- Czerwiec 2024 · zadanie 5 3 pkt
- Czerwiec 2016 · zadanie 8 4 pkt
Poprzednia: Logarytmy Wszystkie lekcje kursu Następna: Dowody podzielności