Jak brać się za rozwiązywanie zadań matematycznych? [Kurs matura rozszerzona #0]

Otwierasz arkusz, czytasz polecenie — i pustka. Ten odcinek jest o tym, co robić w takiej chwili: jak rozbierać zadanie na części, zanim zaczniesz liczyć, i jak sprawdzać po drodze, czy wynik ma sens. Pokazuję to na siedmiu zadaniach z arkuszy CKE, w tym na dwóch najtrudniejszych w historii matury rozszerzonej (zdawalność 4% i 15%).

Odcinek 0 1 h 9 min 7 zadań CKE bezpłatnie

Rozdziały filmu18 rozdziałów
Materiały do lekcjiMateriał kursowy 00 w PDF: metoda APEK i komplet omawianych zadań z pełnymi rozwiązaniami.PDF · 15 stron · 1,1 MB Pobierz PDF
5 autorskich arkuszy próbnychMoje autorskie arkusze z pełnymi rozwiązaniami i wskazówkami egzaminacyjnymi.5 arkuszy w PDF · bezpłatnie Odbierz PDF

Metoda APEK w pigułce

  1. Analiza

    Zanim cokolwiek policzysz: czytasz polecenie i wypisujesz, co jest dane, a co trzeba pokazać. Szukasz w treści ukrytych wskazówek.

  2. Plan

    Wybierasz drogę i sprawdzasz, dokąd prowadzi — planowanie musi poprzedzać liczenie, inaczej rachunki prowadzą donikąd.

  3. Egzekucja

    Dopiero teraz liczysz, upraszczając po drodze; zgodnie z zasadą Hilberta „dobry matematyk to leniwy matematyk”.

  4. Kontrola

    Na każdym etapie sprawdzasz, czy wynik ma sens. Brak kontroli potrafi kosztować punkty — nawet CKE popełniło z tego powodu błąd w arkuszu.

Najczęstsza pułapka: rzucenie się do rachunków zaraz po przeczytaniu polecenia. Bez etapu analizy i planu liczysz dużo i długo, a i tak zwykle nie tam, gdzie trzeba.

Przykład: metoda APEK na zadaniu z matury

Maj 2018 · zadanie 8 3 pkt poziom wykonania 4%

Udowodnij, że dla każdej liczby całkowitej k i dla każdej liczby całkowitej m liczba k3m − km3 jest podzielna przez 6.

  1. Analiza

    Mamy wykazać, że liczba dzieli się przez 6. Kiedy coś dzieli się przez 6? Wtedy, gdy dzieli się przez 2 i przez 3 — zadanie rozpada się więc na dwa mniejsze. Druga myśl: jak w ogóle stwierdza się podzielność? Spójrz na liczbę 10013. Przez co się dzieli? Trudno powiedzieć. Ale gdy zapiszemy 10013 = 17 · 19 · 31, odpowiedź widać natychmiast. Do podzielności potrzebna jest postać iloczynowa.

  2. Plan

    Rozłożyć wyrażenie na czynniki, a potem osobno sprawdzić podzielność iloczynu przez 2 i przez 3.

  3. Egzekucja

    Rozkład nie wymaga żadnej sztuki: wyłączamy km przed nawias, a w nawiasie zostaje różnica kwadratów.

    k3m − km3 = km(k2 − m2) = km(k − m)(k + m)

    Podzielność przez 2. Jeżeli któraś z liczb k, m jest parzysta, to iloczyn jest parzysty i koniec. Jeżeli obie są nieparzyste, to ich suma k + m jest parzysta. W każdym przypadku jeden z czynników dzieli się przez 2.

    Podzielność przez 3. Jeżeli któraś z liczb k, m dzieli się przez 3, to iloczyn też i koniec. W przeciwnym razie każda z nich daje przy dzieleniu przez 3 resztę 1 albo 2. Reszty różne: k = 3k1 + 1, m = 3m1 + 2 (albo odwrotnie) — wtedy k + m = 3(k1 + m1 + 1) dzieli się przez 3. Reszty takie same: k = 3k1 + r, m = 3m1 + r — wtedy k − m = 3(k1 − m1) dzieli się przez 3. W każdym przypadku jeden z czynników dzieli się przez 3.

    Liczba jest więc podzielna przez 2 i przez 3, czyli przez 6.

  4. Kontrola

    Zamiast kontroli rachunków (nie było ich) sprawdzamy, czy nie zgubiliśmy przypadku. Przy dzieleniu przez 2 reszty to 0 lub 1, przy dzieleniu przez 3 — 0, 1 lub 2. Przeszliśmy po wszystkich kombinacjach, więc dowód jest kompletny. Szybki test na liczbach: k = 2, m = 1 daje 8 − 2 = 6, a k = 5, m = 2 daje 250 − 40 = 210 = 6 · 35.

Jak to zapisać na maturze? Kilkoma zdaniami zwykłego tekstu: „Jeśli k lub m jest parzyste, iloczyn jest parzysty; jeśli obie są nieparzyste, parzysta jest suma k + m. Jeśli k lub m dzieli się przez 3, iloczyn też; jeśli nie, to przy różnych resztach przez 3 dzieli się k + m, a przy takich samych k − m”. To jasny sygnał, że autor wie, co pisze.

Omawiane zadania z matur CKE

  1. Czerwiec 2022 · zadanie 4 błąd CKE
  2. Maj 2018 · zadanie 8 3 pkt poziom wykonania 4%
  3. Czerwiec 2021 · zadanie 12 5 pkt
  4. Maj 2021 · zadanie 8 4 pkt
  5. Maj 2024 · zadanie 8 4 pkt poziom wykonania 15%
  6. Czerwiec 2023 · zadanie 9 4 pkt
  7. Maj 2026 · zadanie 1 2 pkt

Chcesz więcej takich rozbiorów?

W moim zbiorze zadań znajdziesz wszystkie zadania otwarte z arkuszy CKE 2015–2025 — ułożone działami, z rozwiązaniami rozpisanymi na etapy i wskazówkami egzaminacyjnymi.

Zobacz e-booka

Wszystkie lekcje kursu Następna: Funkcja kwadratowa To wstępny odcinek kursu